A(t)=A(t-1)(1+R)-a                           ………………(1)                     显然   A(0)=A0,  A(1)=A0(1+R)-a 成立；

              假设当t=k   A(k)=A0(1+R)^k-a[(1+R)^k-1]/R 成立；

则当t=k+1,即第(k+1)个单位时间后银行欠款额，由递推关系式(1)：

A(k+1)=A(k)(1+R)-a

              ={A0(1+R)-a[(1+R)^k-1]/R}(1+R)-a

              =A0(1+R)^(k+1)-a[(1+R)^(k+1)-(1+R)]-a                          

              =A0(1+R)^(k+1)-a[(1+R)^(k+1)-1]/R

              A(k+1)符合假设所给形式，即证。

3.4 问题1的分析：贷款方案的决策：

    方案1.1: 由定理3.3.1, A0(1+R)^t =A(t)+a[(1+R)^t-1]/R                                       

             A(12*5)=A(60)=0;  => A0=a[1-(1+R)^(-t)]/R;

            将R=r=0.01,a=1200; A0=120000(1-(1+0.01)^(-60)=53946.04609￥

即如果一次付款应付A=70000+A0=123946.04609$                                               

       方案1.2: t=0,A=130000￥.  显然 130000>123946.04609,方案1.1优于方案1.2,面对这两种选择,张先生应考虑方案1.1。

       方案 1.3: t=25*12=300            月利率 r=0.01        A0=60000$  

则 A(300)=A0(1+r)^300-a[(1+r)^300-1]/r=0 

即:  a=[A0(1+r)^300*r]/[(1+r)^300-1]=631.9344854$<900J$

                故张先生可以考虑贷款买房。