(一)注意把握教学要求

学生学习本章时，是第一次接触概率知识，它只是内容丰富的概率论与数理统计这门庞大的数学分支的一些最初步的知识，限于教学要求和学生的知识基础，对其中很多问题的讲述从数学的角度看是不严密的。例如，对随机事件的概率的一般定义，实际上是一个并不严格的描述性定义，多个事件两两相互独立的意义，教材上并未明确指出；互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式是在具体例子的基础上归纳出来的，并未进行一般的证明等等。但是，这种理论上的不严谨并不影响学生了解概率等概念的实际意义和进行简单应用；即并不影响完成本身的学习目标。因此，我们在教学观念上定要把学习看成一个不断深化的过程，摆脱“深、透、全”的影响，避免将教学要求拔高。比如注意，不要为了讲清随机事件的意义而引进样本空间的概念，不要企图将随机事件的一般定义讲得更加清楚、更加确切，不要提出一般的两个事件的和与积的意义，不要补充3个以上的事件的两两相互独立的确切含义，不要对互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行一般性证明。在排列与组合这—部分，排列数公式在具体例子基础上归纳得出即可，不必用数学归纳法去进行严格证明，对于本章的例习题，在要求上不宜提高，因为事实证明，过高的教学要求不仅增加了学生的负担，而且冲淡了学生对基本概念的理解和学会基本的应用。

(二)加强对解应用题的指导

解排列、组合和概率的应用题，既是本章的重点，又是本章的难点。实践表明，极易算错是上述应用题的一个非常显著的特点；因此加强对解应用题的指导，是本章教学成功的一个关键问题。具体来说，建议在以下环节上进行指导。

1．仔细审题，弄清题意。通过审题，应弄清题目中的条件，特别注意其中是否带有隐含条件。例如，“从数字0，1，2，3中每次取出3个数字，共可组成多少个没有重复数字的三位数?”这道题，如果将它看成一个求排列数问题，那么数字0不能作为一个排列的开头就是其中的隐含条件。如果审题不仔细，常常漏掉或错误理解其中的隐含条件。其次，在审题中要弄清题目属于哪一类问题，特别是要区别排列问题与组合问题：可向学生强调，它们的区别在于是否与顺序有关，为了鉴别这一点，可以任选其中的一个结果，交换其中两个元素的位置，如果结果不变就是组合问题，否则就是排列问题。

2．点拨思路，加强分析。对带有附加条件的排列组合题和某些概率题，通常有不同的解题思路。可以正向思考，也可以逆向思考，正向思考时可以通过“分类”将问题分解，也可以通过“分步”将问题分解。这时，就要根据问题的特点，确定一种较为简便、合理的解法。为便于将问题分析清楚。有时还可画出辅助图形。在讲完例题后，还可回过头来对解题思路和方法进行体会和小结，以达到举一反三的目的。

3．变换解法，验算结果。对于排列组合题，学生常常是计算出错却坚信正确无疑，这时可引导学生变换解法再去求解，对所出现的重复和遗漏计算等问题进行反思。这样既验算了所得结果，又活跃了学生解题思路，减少了学生以后解应用题时可能发生的错误。

(三)结合本章内容对学生进行思想教育

对学生进行思想教育，是包括各门课程在内的整个学校各方面工作的共同任务，有意识地结合数学教学的具体内容对学生进行思想教育，往往能收到事半功倍的效果。

1．通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，“杨辉三角”是我国古代著名的数学成就之一，它的发现要比欧洲早约500年，因此应通过这一伟大发现，说明中华民族的勤奋与智慧，激发学生的民族自豪感；为祖国的繁荣昌盛而努力学习的热情。

2．通过对概率等知识的教学，使学生认识对立统一的辩证唯物主义观点。随机事件在一次试验中的发生与否具有偶然性，但在多次重复试验中，它的发生存在着一定的规律性，即“偶然中有必然”‘可见，偶然性与必然性既是对立的，同时在一定的条件下又是可以转化的。学生认识这一对立统一规律，对他们今后正确地认识事物及其关系很有帮助。

(四)注意在符号使用方面所出现的变动

根据新颁布的有关量和单位使用的国家标准，排列数符号P已弃用，而改用A，这样改动的一个好处是使表示排列数和概率的符号避免采用同一字母，这在将排列与

概率并成一章 时尤其有着重要意义。按照上述标冶，组合数 的符号采用和

均可，考虑到排列数符号与组合数符号表示的协调，并照顾到过去一直采用

的习惯，这次教材中将组合数符号选定为。此外在研究某些事件的概率

时，变量在某一段的取值范围已不用 而改为“[a，b]”，这是因

为在上述标准中前者的意义改为[a，b]，用它表示分组数据时不能保证数据的既不重复又不遗漏。

四、有待研究的几个问题

(一)是否将“重复排列”明确为教学要求

在《大纲》中，并未列上“重复排列”的知识条目，但不论是从现行高中必修本，还是从本高中试验教材来看，重复排列的知识及其应用实际上都已涉及到了。笔者认为，与其将它这样“羞羞答答”地塞进所学内容，还不如索性将其明确为教学内容更好，这样在教学时更利于掌握。

从n个不同元素中可以重复地选取m个元素。按照一定的顺序排成一排，叫做n个不同元素的允许重复的m个元素的重复排列。这个概念是不难理解的，与不重复排列相比，被选的n个元素互不相同这一点是共同的，不同的只是所选的m个元素，一个要求互不相同，一个无此要求。从重复排列数公式的推导看，也较简单，易于理解，只要运用乘法原理，可立即得到它等于

实际上，学生在运用乘法原理解某些应用题时， 已自觉不自觉地多次运用过这一公式．而一旦将这一公式明确提出，学生会强化对它的记忆 与理解，从而可以减少常常发生的答案是还是的混淆。

重复排列不仅易于掌握，而且应用很广，诸如电话号码、密码等问题均与其有关。可见，在现有的乘法原理的基础上，顺势提出重复排列的概念、在实例基础上归纳出重复排列数公式，从这个公式应用的角度讲点例题(此例题教材本来就有，只是求解的根据的提法不同)，所花时间充其量为1课时，鉴于上述分析，将重复排列明确为教学内容是适宜的。

(二)是否应从集合的角度去解释排列、组合和概率

排列、组合和概率的概念，均可从集合的角度去解释或定义。例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的所有排列是：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

这些排列组成一个集合，每一排列是其中的一个元素，求，实际上就是求

上述集合(记为A)的元素个数card(A)。这里，card(A)＝6。对于组合，也可作类似考虑，而概率的集合解释，教材正文中已提到了。

对于将排列、组合、概率与集合联系起来，在本教材征求意见过程中存在着不同意见，持赞成态度的强调了进行这种联系的两点好处。

首先，集合是中学数学中的基本概念之一，在中学里研究的数、式、函数、图形、向量、排列与组合、概率等，都可以看作是某种集合，即在集合的高度上，各种不同概念间的本质显现得更清楚了，它们之间的联系更突出了。因此，将排列、组合、概率与集合联系起来，有助于学生在高中数学必修课的最后，从集合的角度对所学的主要概念进行梳理，对所学知识进行综合复习和融汇贯通。

其次，可利用集合表示的直观性和集合的并、交、补等运算关系求解较复杂的应用题。解排列、组合应用题的一个特点是容易算错，常因对问题的分析不够仔细和确切导致计算的重复和遗漏，而当用集合方法考察这些应用题时，可将问题中的限制条件间的关系转化为可用集合文字图清楚显示的集合间的运算关系，从而使问题较容易获得解决。

另一方面，不赞成将排列、组合、概率与集合联系起来的理由主要也是两条。

首先，不进行上述联系，学生也能理解有关概念，并不会影响本章的学习效果，而进行上述联系后，虽然观点高了，但并不见得学生就能理解，这对于以学会用数学为主要目的的多数学生来说未必合适。

其次，国家标准规定中的集合符号的表示较为繁琐。集合A的元素个数表示为card(A)， 集合A在全集I中的补集表示为，因此当用这些符号表示一些问题

时，增加了问题的抽象程度，有将简单问题复杂化之嫌。

鉴于上述，本教材将排列、组合与集合的联系暂列为仅供学有余力学生学习的“阅读材料”，而在与集合的联系更为直接(事件就是一种特殊的集合)、用集合方法分析有关问题更为清晰的概率中，适当增加了对概率问题的集合解释。这些处理方法是否妥当，还需在教材试验中进一步研究。

（饶汉昌）

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