三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。

本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)：

4.1角的概念的推广 约2课时

4.2弧度制 约2课时

4.3任意角的三角函数 约2课时

4.4同角三角函数的基本关系式 约2课时

4.5正弦、余弦的诱导公式 约3课时

4.6两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时

4.7二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时

4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质 约4课时

4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约3课时

4.10正切函数的图象和性质 约2课时

4.11已知三角函数值求角 约2课时

小结与复习 约4课时

一、内容与要求

(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。

(二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内 接矩形的最大面积．这个问题可以用二次函数来解决， 但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。

第一大节是“任意角的三角函数”。教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式

及正弦、余弦的诱导公式。教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。

第二大节是“两角和与差的三角函数”。教科书先 引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的 正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角 公式，然后顺次推出公式:

同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。

第三大节是“三角函数的图象和性质”。教科书先 利用正弦线画出函数的图象，并 根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图 象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利 用诱导公式:

，把正弦曲线向左平行移动 个单位长 度，得到余弦曲线。接着根据这两种曲线的形状和特 点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了函数 的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质。最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案。

(三)本章的教学要求是：

1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。

2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义， 了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基 本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式。使他们能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。通过引入平面内两点间距离公式推导余弦的和角公式，并由此推导其他公式，使学生通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力，并使学生能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式证明(包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记亿)。

4．使学生了解如何通过用与单位圆有关的有向线 段表示三角函数值的办法画出正弦函数、正切函数的 图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 了解周期函数与最小正周期的意义，并通过正弦、余 弦、正切函数的图象了解这三个函数的性质；会用“五 点法”画正弦函数、余弦函数及函数 的简图。

5．使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

二本章的特点

(一)对传统的三角内容作了大幅度的精简。被明确删去的内容有公式:

正切、余切的诱导公式；化为一个角的一个三角函数的形式；余切函数的图象和性质；反三角函数和简单三角方程。被明确简化的内容(要求随之降低)有：对余切、正割、余割只要求了解其定义，不作其他延伸；只引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆；余弦函数的图象不用余弦线画，而利用正弦曲线和诱导公式来画。经过这样的精简，原教材安排的76课时减为新大纲规定的36课时。

(二)突出了数学思想和数学方法。本章教材突出 的基本数学思想有：集合思想，例如引入象限角的集 合，用集合表示符合某条件的角以及三角函数的定义 域和值域等；对应思想，例如一个角的度数与弧度数一 一对应，角与某一种三角函数的值的对应等；数形结合 思想，例如用坐标来定义三角函数，用与单位圆有关的 线段表示三角函数线，用单位圆引出正弦、余弦的诱导 公式，利用图象来研究三角函数的性质、通过将正弦曲 线上各点的坐标进行平行移动、伸长或缩短来画出函 数的简图等；化归思想．例如研究一 个角的正弦、正切值同时为负数的充要条件，将求任意 角的三角函数值逐步转化为求锐角三角函数值(这是 将未知问题转化为已知问题)，将画正弦曲线逐步转化 为画函数的简图(这是将已知问题转 化为未知问题)，将由已知三角函数值求角的问题转化 为先求出符合某条件的锐角(辅助角)等。突出的基本 数学方法(通法)有：坐标法，例如在平面直角坐标系 内定义三角函数，研究它们的图象和性质，建立适当的 坐标系推出正弦、余弦的诱导公式以及余弦的和角公 式等，这些方法的普遍使用，也为后面学习向量与解析 几何进一步打好了基础(前面学习函数时已渗透)；换 元法(设中间变量，包括设参数)，例如由公式推 出，由推出，由正弦曲线的形状和位 置关系推测函数的图象的形状和位置 关系，在由三角函数值求角时先替换成求出符合某条 件的锐角等，由于新大纲未专设参数方程这一项教学 内容，所以有关参数的知识及运用要在各章节中适当 安排；五点法，这在画正弦、余弦函数以及与其相关的 函数的简图时起着很大的作用；待定系数法，例如先写 出函数式，再根据已知条件求出这里的系数A、w、， 以及化简这 样的式子等。除此以外，在本章的各部分内容中，还渗 透了综合法、分析法以及观察、比较、抽象、概括等方 法。例如用综合法、分析法证明简单的恒等式；观察三 角函数的图象得出其单调性及正弦、余弦函数在一个 周期上的五个关键点；比较角的两种单位制，比较正弦 函数、余弦函数的图象和性质，比较正弦曲线与函数

的图象；从实际问题中抽象出O。到360。 范围以外的角，从而将角的概念推广到任意角(包括正 角、零角和负角)，并按角的终边所在的位置概括出象 限角或终边在坐标轴上的角；在推导出五组诱导公式 后，将它们概括成一句话“的三角函数值，等于a的同名函数值，前 面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号”；在讲解 画函数的简图的过程时，概括成一段 话“函数的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先把正 弦曲线上所有的点向左(当时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标 缩短(当w＞1时)或伸长(当0＜w＜l时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当O＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)”等。

(三)注意提高学生的能力。提高学生的思维能力， 除了上述要求学生会对有关对象进行观察、比较、分 析、综合、抽象和概括，还培养他们会用归纳、演绎和 类比进行推理，例如先由 :

求x，再由

求x，

最 后由求x，并归纳得出一般的解 集(可用符号arcsinx表示)；先由距离公式推出公式 ，再顺次(教科书叙述顺序)演绎出公式

并小结出 它们的内在联系和推导线索以供学生参考和记忆；将函数

上的简图进行类比，得出画函数y=Asinx在此区间上的简图的方法等。在运算方面，虽然用科学计算器可以迅速求得任意角的三角函数值，但由于运用诱导公式的方

法具有思维训练价值及运算训练价值，所以教科书仍 按传统方法处理。关于空间想象，在本章中主要是指在 平面(二维空间)内的数形结合，为此把单位圆与三角 函数线的知识提前到用坐标定义任意角的三角函数一 小节，这就强化了几何表示，对于后面讲诱导公式带来 了方便；另外，在“函数的图象”一小节中。增加了一些关于判定如何进行平行移动、伸长或缩短，使一个图象变到另一个图象去的题目，这种训练渗透了近代几何学中的一个重要思想——变换思想，也是义务教育初中几何教科书中“全等变换”、“位似变换”等“读一读”资料的延伸(见人教版初中《几何》第二册)。

(四)注意加强理论联系实际。章头引言安排了一 个实际问题--—求半圆内接矩形的最大面积。这个问 题可以用学生学过的二次函数的知识来解决。但如果 从角度出发，就会得到一个三角函数式 求这个三角函数式的最大值，只利用学生已经学过的 锐角三角函数的知识是不够的。教科书还注意从实际 问题中引出任意角的概念和弧度的概念以及加强它们 的应用。有的应用是很浅显的，例如“今天是星期三，那 么7k天后的那一天是星期几? 7k天前 的那一天是星期几”，就发生在学生的身边。作为本章 的阅读材料，还介绍了“同频率正弦电流相加，频率不 变”这一知识，并用正弦的和角公式进行了推导，为以 后学生学习物理中的有关电学知识打好了数学基础。 (五)注意符合学生的认识规律。除了从实际问题 引入数学概念之外，在这方面的措施有：(1)重建数形 结构。首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意 角a的三角函数，在得到“终边相同的角的同一三角函 数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有 关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值 分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后 学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式， 以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、 求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法 以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性 质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究 方法则以形为主，以数为辅。全章力求使知识来自实 际，来自对数与形的共同的、互相配合的研究，同时利 用并培养学生的形象思维和逻辑思维。(2)利用学生 已有的认知结构。在引言中，首先利用二次函数的知识 来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操 节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆； 画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式，已知 三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质。以上 这些都是与原教科书中处理不同的例子。可以说，本章 的各项教学内容，基本上是环环相扣的，后面的知识均 以前面的知识为基础，这样就能使学生在学习过程中 可以较好地‘同化”和“顺应”。(3)精简认知结构，略 去或简化不必要的程序。例如，从锐角三角函数直接推 广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程 序。这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这一知识 的发生和形成过程。又如，由于函数的 图象是依据正弦曲线和诱导公式cosx=画 出的，所以在一步步地讲解怎样利用正弦曲线画出函 数的简图时，就大大简化了原 教科书中画函数的简图的叙述。 (4)在必要的地方增加台阶，让学生拾级而上。例如对 于正弦曲线与函数的图象之间的关系，后者如何从前者变化得到，对学生来说是一个难点，新教科书增配了—些练习题，帮助学生辨析“左移”、“右移”、“伸长”、“缩短”这些词语的涵义并学会使用。又如在“已知三角画数值求角”这一小节中，将每一道例题分成几道小题，使前面的小题成为解后面小题的基础。

三数学中应注意的问题

(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念， 同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、 余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。 难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三 角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函 数的图象与正弦曲线的关系。关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其向差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。

由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容 和要求，不要随意补充已被删简的知识点。例如，三角 函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲两个； 连也不必补充；除外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan120。可通过转化为

来求；在推 导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了 正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求 学生记忆；半角公式、积化和差与和差化积公式也只是 作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆， 更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题。

(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注 意科学性。事实上，角的概念推广后，无论用弧度制 还用角度制，都能在角的集合与实数集及之间建立起 一种一一对应的关系。说“每个角都有唯一的实数与它 对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数， 或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则 不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一 的。说“每一个实数也都有唯一的一个角与它对应”时， 对应法则也不是唯一的，但每一种对应法则下对应的 角是唯一的。所以不要认为只有弧度制才能将角与实 数一一对应。有的教师认为角度制的计量单位太小，而 弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽 有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小 有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可 以不一致。关键在于用角度制表示角的时候，我们总是 十进制、六十进制并用的，例如角 其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了。

(三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例 如，只有才可以说是正弦函数；六种函 数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能 说是三角函数，例如 可以说是2x的正 弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函 数与正比例函数的复合 函数，但不能说是x的正弦函数。另一点是函数的定义 域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所 以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx”，需 知“函数”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体。

(四)关于已知三角函数值求角，在讲解第4.11小节的例2、例3(尤其是它们的第(2)小题)时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程调整为：

1、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角xl，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角x1， 并设辅助角

。

2、决定角x可能是第几象限角。

3、如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象 限角，得出内对应的角——如果它是第二象 限角，那么可表示为 ;如果它是第三或第四象限 角，那么可表示为

或

。

4．如果要求出以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。

也可以把上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用。新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的。

(五)本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，教师刚接触时可能有些不习惯，希望能认真模仿教科书上的写法．在板书中逐渐达到规范化。物理教科书也是这样做的。因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从。

四有待研究的问题

(一)新大纲把“三角函数”这一教学内容放在“平面向量”之后，可能是希望利用平面向量这一工具去处理一些三角问题。我们知道，利用向量，可以直接证得两角和的正弦、余弦公式，而不必像现在这样利用两点间距离公式先证得两角和的余弦公式，而后才导出两角和正弦公式。用向量直接证得两角和的正弦、余弦公式，要用到向量的旋转的概念和某些性质，证明过程相比之下反而烦琐一些(见人教版高级中学试验课本《数学II》第118页--123页)。那么能否利用向量的数量积呢?利用数量积，只能先设两角差不大于T时证得余弦的差角公式成立，然后还要证明此公式在a、p为任意角时也成立，这就算不得简便和理想(指先证差后证和，先证余弦后证正弦)了。那么，除了上述人们熟知的情况外，还有没有使用向量的其他办法呢?抑或说，能否用平面向量改造本章的传统内容呢?

(二)除了本章已提供的一个阅读材料外，还有没有其他可提供的素材(每个素材必须有思想、有兴趣，并且有一定容量，而不仅是一道习题)可用于修订教科书时参考?

(三)本章内容、习题与课时之间的关系如何更好把握?

（蔡上鹤）