按照《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》的要求，在高中一年级下学期，我们编写了“平面向量”一章。

这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等。本章教学时间约22课时，具体安排如下：

5.1向量 约1课时

5.2向量的加法与减法 约2课时

5.3实数与向量的积 约2课时

5.4平面向量的坐标运算 约2课时

5.5线段的定比分点 约l课时

5.6平面向量的数量积及运算律 约2课时

5.7平面向量数量积的坐标表示 约1课时

5.8平移 约1课时

5.9正弦定理、余弦定理 约4课时

5.10解斜三角形应用举例 约2课时

5.11实习作业 约2课时

小结与复习 约2课时

一、内容与要求

(一)本章内容

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。

第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。

正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。

本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。

(二)本章教学要求

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2.掌握向量的加法与减法。

3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

二、本章的特点

在高中阶段，系统地讲授向量知识，在我国教材史上还是首次，如何把大纲中的内容组织成既适合于教又适合于学，并能取得良好教学效果的教学体系，是编写教材时必须要考虑的问题，我们编写平面向量这一章时，在贯彻全套书总体指导思想的前提下，突出了以下特点。

二、本章的特点

(一)注意初中与高中的衔接

近年来，在与本章有关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢?

(一)注意知识的系统性与学生的可接受性相结合

我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，也就是说，不能用后面的概念来定义前面的概念，前面的命题不能用后面的命题来证明，因为只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。

这一章属向量代数的基础知识，为便于说明这一章的体系，我们先来看看向量代数的编排。通常在向量代数的课程中，向量代数知识的编排及结构如下：

向量及其表示---向量的线性运算---向量的共线与共面---向量的内积、外积与混合积---双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式等。

在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量。

在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律。

在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件。

在“向量的内积、外积与混合积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质；左手系，右手系，向量外积的定义，向量外积的运算律，向量外积的性质；向量混合积的定义，向量混合积的性质。

在“双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式”中，主要介绍双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式的证明。

参照向量代数的体系，我们对大纲中平面向量部分的知识点，在高中数学第一册中，按这样的次序来编排，即向量的概念及其表示---向量的加法---向量的减法---数乘向量(大纲中称为实数与向量的积)---向量共线的充要条件和平面向量基本定理---向量的内积(大纲中称为向量的数量积)---向量的应用。

本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识。教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来。教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础。

教科书通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。教科书在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式。

向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示。

本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)。接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用。

但是，对于向量坐标的引入，由于目的的不同而有不同的处理方式，例如，高等数学教材中，采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。我们在引入向量的坐标时，为了让学生尽早知道处理几何问题的另两种方法——向量法和坐标法，突出数形结合的思想，同时考虑到课时等原因，是在平面向量基本定理之后就引进向量的坐标，并把向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的共线等用坐标表示。

(二)注意符合学生的认识规律

我们知道，学生的学习，是在教师指导下的一种特殊的认识过程，这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识又从理性认识回到实践的过程，这个过程反映在对具体知识的编排要求上，那就是要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，抽象出概念、推导出原理和方法，而后举例说明这些概念、原理和方法的应用。

基于这一思想，我们在编写这一章时，特别注意知识的发生过程，对概念、法则、公式、定理等的处理，不是首先呈现数学活动的结果，而是先举出学生熟悉的实物、事例、知识，或由学生动手操作，并通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括，得出结论。

对这一章中概念的处理，我们是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式。一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等。

这一章中的一些例题，我们不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法。解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题。

关于向量运算，不像高等数学教材那样，从向量公 理的角度引入，而是借助于几何直观，并通过与数的对 比引入，这样便于学生接受。例如，关于向量的减法，在 向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减 法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差。这样，作b-a时，可先在平面 内取一点O，再作，则就是b-a。第 二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定 义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)。在 这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作 则由向量加法的平行四边形法则知， 由于b+(-a)=b-a，即就是b-a。实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a。而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁。为便于学生接受，我们在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图5-1作出即可。

(三)注意培养学生的思维能力

我们在编写这一章时，特别注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力，例如，平面向量基本定理的引入，先让学生思考教科书图5-15中的向量a与向理e1、e2之间的关系，联想到实数与向量的积这一概念，再通过作图得出最后给出了平面向量基本定理。对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考。

(四)注意数学思想方法的渗透

在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。

由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。

(五)突出知识的应用

(1)加强向量在数学知识中的应用

我们在编写这一章时，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。

(2)注意联系实际

我们在这一章中，把联系实际分成三个层次：

第一层次，在知识的引入上联系实际。例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入。

第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题。例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题。在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等。

第三层次，安排实习作业。安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。

三、教学中应注意的问题

(一)要重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养

由于这一章是为以后学习解析几何和立体几何作准备的，所以教学时，一定要让学生学好这一章的知识。而对于基本技能和能力，要遵循学生的认识规律，结合教学内容，选择合适的教学方法，有目的、有计划、分阶段地进行训练和培养。要随着学生对基础知识的理解的不断加深，逐步提高对基本技能和能力的要求，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言进行数学交流的能力。

(二)要把握好教学要求

由于这一章是新内容，因此教学时，一定要把握好教学要求，按大纲的规定，我们把这一章知识点归类如下:

应了解的内容：共线向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。

应理解的内容：向量的概念，两个向量共线的充要条件，平面向量坐标的概念。

应掌握的内容：向量的几何表示，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及几何意义，向量垂直的条件，平移公式。

会运用的内容：线段的定比分点和中点坐标公式，正弦定理，余弦定理，用计算器解决解斜三角形的计算问题，及通过解三角形应用的教学，继续提高学生解决实际问题的能力。

教学时，一定要突出重点、抓住关键、解决难点，以保证这一章的教学顺利。

(三)要加强思想品德教育

要用辩证唯物主义的观点阐述教学内容，使学生领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践，以及反映在数学中的辩证关系，从而受到辩证唯物主义观点的教育，要注意培养学生学习数学的兴趣，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

四、有待研究的问题

(一)体系是否合适，例习题的数量、难度是否适当

我们编写这一章时，尽管作了一些努力，设计了一种知识体系，但是不是最优的知识组合呢?需进一步研究实验。

本章例习题数量如下：

例题数练习题数习题数复习题数384064(A)

28(B)

10 这些题量是否合适?难易程度如何?也需要实验检验。

(二)处理几何问题如何把握

我们知道，用向量处理一些几何问题很容易，但是考虑到课时少及控制难度等原因，我们在编写这一章时，只要求学生会用两个向量表示其他向量，而没有通过向量的运算证明几何命题，这样处理是否合适?

（康合太）