| 题目 已知a,b是正数，且ab=a+b+3，求ab的取值范围。(99高考题)
解法(一) 因为要求ab的取值范围，所以我们要设法用ab代替a+b， ∵ a,b为正数，
∴ 由基本不等式a+b≥2 知原等式可化为ab≥2+3 .
∴ ()2-2-3≥0 ，
解得 ≥3 或 ≤-1(舍)，∴ ab≥9 .
解法(二) 由a+b、ab的形式，我们很容易想到韦达定理.
不防设 ab=k ，则a+b=k-3 .
a, b可看作方程 x2-(k-3)x+k=0的两实根.
△=(k-3)2-4k≥0 ，解得k≥9 或 k≤1 .
∵ a+b>0 ，
∴ ab=a+b+3>3 ， ∴ ab≥9 .
解法(三) 一个方程两个未知数看起来不怎么好处理，我们不妨用其中一个来表示另一个。
ab=a+b+3 a(b-1)-b+3 a=(b+3)/(b-1) .
∵ a>0, b+3>0, ∴ b-1>0 即 b>1 .
∴ ab=（(b-1)2+5b-5+4)/(b-1)=5+b-1+4/(b-1) …………(*)
∵ b>1, ∴ b-1>0 ,
∴ (*)≥5+2*2=9 即 ab≥9 .
解法四 细细观察会发现 ab=a+b+3 实为(a-1)(b-1)=4 .
令a-1=2t, b-1=2/t (t>0) ,
∴ ab=(2t+1)(2/t+1)=4+2t+2/t+1≥9
即 ab≥9 .
解法五 ab=a+b+3 可凑出
(-1)2=(√a-√b)2+4≥4 ,
∴ (-1)2≥4 .
-1≥2 或 ≤-2(舍) .
解得 ab≥9 .
指导教师王亿军
本文发表于首都师大《中学生教学》2000.11上期
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