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| 例谈向量在解析几何中的应用 | |||||||||||||||||||
| 作者：江苏省太仓高级中学 偶伟国 文章来源：〖未知〗 点击数： 更新时间：2003-7-23 | |||||||||||||||||||
| 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透响量有关知识。 （1）利用向量推导有关公式、定理 教材在推导斜率公式及圆心不在原点的圆的参数方程，均采用了向量方法。这就启示我们在其它公式的探究过程能否从向量入手，而事实上这样的例子有不少，例如，可以利用向量知识来推导点到直线的距离公式。 从向量的坐标运算角度来推导。 直线L：Ax+By+C=0的法向量为n=（A，B）。点P（x0,y0）为L外一点，设PQ是直线L的垂线段，则PQ=λn=λ（A，B）=（λA，λB）。 代入直线方程，得 |PQ|= 。 （2）引导学生善于运用向量解题 向量的共线、数量积、夹角公式等为解决有关解析几何问题提供了有力工具。因此在遇到平行、垂直、角度等问题时，要注意引导学生尝试能否应用向量来求解。 例4 设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。（2000年（北京、安徽）春季高考试题） 解：设 。 所以有 因为 ，所以 ，即 化简得 ① 又 ，知 即 ② 又A，M，B三点共线，所以有 。 所以 ， 即 ③ 将①、②两式代入③式，化简整理，得 因为A，B是异于原点的点，所以 。 故点M的轨迹方程为 （ ），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆（除去原点） 说明：本题从“两个垂直，一个三点共线”这些条件出发，应用向量公式，较快地列出了三个等式，化简、代换之后问题很快解决。而较解析几何方法则解题思路简明扼要。而类似例子较多，不一一列举。关键是要培养学生在解解析几何题时有用向量的意识。 （3）可编选一些向量与解析几何的综合问题供学生思考、练习 此类习题目前在各类参考书上不多见。为此教师可以尝试改编一些原有解析几何习题。 如：①双曲线 的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且点P到x轴的距离为 ，则 （2001年全国高考理科（14）题改编） ②设抛物线y2=2px（p>0）焦点为F，经过点F的直线交抛物线与A，B两点，点C在抛物线准线上，且已知 且 求证：BC||x轴（2001年全国高考理科（19）题改编） 应该说，新教材安排平面向量这一章节，其意图不仅是要让学生了解平面向量的有关知识 ，更重要的是要让学生要善于应用向量研究其它数学问题，我们在教学中要深刻领会，并落实到平时的教学与复习中。 |
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