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| 幂函数、指数函数和对数函数·集合 | |||||||||||||||||||
| 作者：〖未知〗 文章来源：〖未知〗 点击数： 更新时间：2003-7-23 | |||||||||||||||||||
| 教学目标 1．初步理解集合概念及其表示法，按指定的方法表示一些集合． 2．理解集合中元素的性质． 3．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力． 教学重点与难点 教学重点是集合概念及其表示法．教学难点是正确理解集合概念． 教学过程设计 师：初中时我们已学习了哪些基本数集？ 生：自然数集、整数集、有理数集、实数集等． 师：当时是如何给出这些概念的，例如自然数集？ 生：自然数的全体组成自然数集． 师：如何表示自然数集？ 生：在椭圆圈内填上一些自然数，点上三点，在圈下写上“自然数集”，用此形式表示自然数集． 师：初中已学过的数集就是今天要学习的“集合”中的一种．（板书课题：1．1集合（一）） （温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识，使学生对出现的概念不致于感到突然，符合学生的认识规律．） 师：上述每一个数集中的数是否确定？即是否有着明确的标准判断任何一个对象在或不在该数集中？如2，-2是否在自然数集合中？ 生：2在自然数集中，而-2不在．说明数集中的元素是确定的． 师：由上可知，任给一个数可以确定它要么在该数集中，要么不在该数集中，两者必居其一．这些在数集中的每一个数叫做数集中的元素．数集中的元素必须具有确定性，这是数集中元素的一个特性． （启发学生对已有的知识进行深入分析、提炼，使潜在的特性昭之于世．） 师：非常大的一些自然数能形成一个数集吗？为什么？ 生：（议论后）不能．因为非常大的自然数有多大不知道，不具有确定性． （通过正反两方面的例子，使学生在对比中明确数集中元素的特性之一——确定性的重要性．） 师：上述所讲都是一些数构成的集合．那么，只有数才能形成集合吗？其实不然，构成集合的元素只要具有确定性即可． （通过分析数集中元素的特征展开联想、分析、探索，为集合概念引入由特殊到一般进行铺垫．） 师：回答下列每组对象是否确定？对象是什么？ 例1 下列对象是否构成集合？对象的属性是什么？有多少对象？ （1）所有的直角三角形． （2）与一个角的两边距离相等的所有的点． （3）x2，3x+2，5y2-x，x2+y2． （4）本校高一学生（420名）． （5）本班第一小组12人中共有5个姓氏：李、陈、黄、张、明． 生：每组对象都能确定，按题号依次是：一些图形，一些点，一些整式，一些人，一些姓氏． 师：上述每一组对象都能予以确定，我们就认为每一组对象的全体形成一个集合（简称集）．集合里的各个对象叫做这个集合的元素． （由特殊到一般得出集合的描述性概念，使数集的概念拓宽了．） 师：你认为上述五个集合中的元素种类是否受限制？ 生：集合中的元素种类可以是任意的，没有限制． 师：对．集合中的元素具有“任意性”是集合元素的又一特性．只要集中元素具有确定性即可． （及时总结是人类进步的原因，也是数学工作者的工作手段．） 师：大家对上述集合进行观察，每一个集合的元素是什么？元素个数各具什么特征？ 生：（1）中的元素是直角三角形，有无数多个． （2）中的元素是点，也有无数多个． （3）中的元素是整式，有4个． （4）中的元素是学生，有420个． （5）中的元素是姓氏，有5个． 师：回答正确．其个数特征是：类似于（1）、（2）中的集合，含有无限个元素，具有这种特征的集合我们称为无限集；类似于（3）、（4）、（5）中的集合，含有有限个元素，具有这种特征的集合叫有限集． （通过问题得出概念，使学生在问题中牢记概念的实质．） 师：请各举一个有限集、无限集的例子． 生：（回答）…… 师：你认为（5）中集合的元素个数为什么不是12个而只有5个？ （再一次通过提问去揭示集合的又一特性．） 生：因为有些姓氏相同． 师：从（5）中你认为集合的元素能重复吗？ 生：不能． 师：由此可见，集合中的元素应该分别表示不同的对象，而相同的对象归入某一个集合时，只能算作集合的一个元素．集合中元素无重复现象，即元素的“互异性”是集合的又一特性． 师：上述姓氏集合是由陈、李、黄、张、明五个元素组成的．能否说由陈、李、黄、张、明姓氏组成的集合与由明、张、黄、李、陈姓氏组成的集合是同一个集合？ 生：应该是同一个集合． 师：集合中元素的这一特性我们称其为“无序性”．综合上述，集合中的元素有几个特性？ 生：确定性、互异性、无序性、任意性． （通过设问，及时归纳、总结，有利于学生掌握知识．） 师：上面研究了集合的概念及有关集合中元素的性质，下面我们一起将集合表示出来． （承上启下一语带出需解决的问题．） 师：初中我们是如何表示数集的？ 师：这种表示集合的方法即为图示法．此外，还有一种表示法是将所有元素一一列出，写在大括号内，称为列举法． （顺手牵羊，自然产生．） 例如上述（3）之集合可表示为{x2，3x+2，5y2-x，x2+y2}．请同学们用此法表示（5）之集合． 生：｛明、陈、张、黄、李｝． 师：你能用列举法写出（4）之集合吗？ 生：能．只要将全校高一学生名字一一列在大括号内就能做到，但很麻烦． 师：你能用列举法写出自然数集合吗？ （上述两问为描述法表示集合设下埋伏．） 生：能．即{1，2，3，…}． 师：是否所有的集合，其元素都能无遗漏地一一列举出来呢？例如（1）、（2）中的集合． （将集合中所有元素表示出来这个难点给予学生，使学生明白只有列举法是不够的．） 生：（议论后）很难表示． 师：有一些集合，其元素不能无遗漏地一一列举出来，或不便于、不需要一一列举出来，这就要根据其属性来确定集合的元素．这样的集合表示法可采用另一方法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内．这种表示集合的方法叫描述法．此时往往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性．如，集合（1）可表为{x|x是直角三角形}，集合（2）可表为{x|x是到角两边距离相等的点}．在不致于引起混淆的情况下，用描述法表示集合还可以有简单的形式．如集合（1）可表示为{直角三角形}，集合（2）可表示为{到角两边距离相等的点}． （适当注入也是需要的．） 例2 用描述法表示下列集合． （1）x-3＞2的所有解． （2）抛物线y=x2+1上所有的点． （3）直角坐标系下第一象限的点． （通过练习使学生初步掌握描述法表示集合．） 生甲：第（1）题为{x|x-3＞2}． 生乙：第（2）题为{y|y=x2+1}． 生丙：第（3）题为{点|点在第一象限}． 师：第（2）题的表示对吗？抛物线上的点是y值吗？ 生：{（x，y）|y=x2+1}． 师：第（3）题用描述法能表示得更清楚吗？ 生：{（x，y）|x＞0，y＞0} 师：由上可知，集合的表示有列举法、描述法和图示法．你认为什么情况下用列举法方便？描述法呢？ 生：若元素个数较少或元素有明显的规律性，则采用列举法；若有些集合不能用列举法，或表示起来不大方便时则用描述法． （通过这一回答，让学生明白两种方法使用的场合，同时培养学生的概括能力．） 练习1 下列表示的集合或叙述正确否？为什么？ （1）{x|x是美丽的小鸟}． （2）{1，1，2}． （3）{1，2}与{2，1}是同一个集合． （4）{1，2}与{（1，2）}是同一个集合，集合中都有两个元素． （5）{（x，y）|x+y=1}就是{x+y=1}． 生：（1）中对象——“美丽的小鸟”不能构成集合．因集合中的元素须具有确定性，而美丽的标准是不确定的． （2）的表示不正确．因集合中的元素必须是互异的，应写成{1，2}． （3）的叙述是正确的，因集合中元素排列是无序的． （4）是错误的叙述．这两个集合中，集合｛1，2｝含二个元素，而集合｛（1，2）｝中含一个元素． （5）也是错误的叙述．｛（x，y）|x+y=1｝是无限集，表示直线上的许多点，而｛x+y=1｝表示有限集，只有一个元素．错误在于描述法的代表元没写．另一个错因在于对描述法的省略形式何时适用还不清楚． （通过正反练习，使学生对所学的集合的概念、元素的特征及用描述法、列举法表示集合的方法更加巩固．） 练习2 用列举法表示下列集合： （1）绝对值小于4的非正的整数． （2）所有的正偶数． （3）a-b，a+b，a2+b2． 生： （1）｛-3，-2，-1，0｝． （2）｛2，4，6，8，10，…｝． （3）｛a-b，a+b，a2+b2｝． （通过上述列举法表示集合的练习，巩固不同类型的列举法的表示方法，使之明白，不仅有限集可用列举法表示，有规律的无限集也可用列举法表示．） 练习3 用描述法表示下列集合． （1）平方等于1的数． （2）方程x2-3x+2=0的解． （3）抛物线y=x2上的点． 生： （1）｛x|x2=1｝． （2）｛x|x2-3x+2=0｝． （3）｛（x，y）|y=x2｝． （通过此例让学生掌握由描述法表示集合的不同类型：序对集、点集、数集或有限集、无限集的表示方法．） 师：（小结）本节课学习了一始（原始概念），二集（有限集、无限集），三法（描述法、列举法、图示法），四性（确定性、互异性、无序性、任意性）． 作业 1．用列举法表示课本P4练习的第1，3，4，6题中的集合． 2．用描述法表示课本P4练习的第6，7，9题中的集合． 思考题： 1．任何一个集合是否都可用两种方法表示？两种方法各有什么优缺点？ 2．用列举法表示集合｛（x，y）|x+y=2，x，y是自然数｝． 课堂教学设计说明 1．本教案需用两课时完成．第一课时以初中学过的数集为导入，通过对于数集的深入分析和延拓，自然引入了集合的概念．通过对几个例子的内含揭示集合中元素的几个特性，加深对集合概念的理解．而集合的表示法则通过比较、分析，分别介绍了列举法和描述法．描述法较难掌握，先初步介绍，然后在第二课时重点解决，使学生掌握之．第二课时重点解决用描述法表示集合及两种方法表示的适用场合，且能灵活运用．另外掌握元素与集合的关系、符号及常用数集符号． 2．本节课能力培养侧重放在培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力上． 3．这节课集合中元素的有关特性在课本上虽没有直接指出，但课本中都有举例，教师的作用在于启发学生揭示其实质，并归纳为“四性”． |
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