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| 平面的概念和性质 | |||||||||||||||||||
| 作者：秦德健 文章来源：〖未知〗 点击数： 更新时间：2003-7-23 | |||||||||||||||||||
| 9.1平面的概念 教学设计：秦德健 【目的】1.了解平面的概念. 2.掌握的画法、表示方法及两个平面相交的画法. 【过程】： 一、引入 1.我们在初中学习过平面几何,它研究的是在一个平面内的图形的性质及计算.现实生活中,我们见到的各种物体,如桌子、房屋等都是立体的.为了适应生产、社会的需要,我们必须研究从各种物体抽象出来的空间图形的性质. 2.学习立体几何的几项注意点: （1）注意和初中平面几何的区别。逐步培养空间想象能力 （2）空间图形是由空间的点、线、面所构成的。 这节课主要介绍立体几何中最基本的概念———平面.[出示课题] 二、新课 组成平面图形的最基本元素是点、线；组成空间图形的基本元素,除了点和直线之外,还有平面.常见的桌面、平静的水面,度给我们以平面的形象,立体几何中的平面就是由此抽象出来的. 1.几何里的平面是无限延展的——平面的最本质属性. (1) 联系直线的无限延伸性去理解 平面把空间分成两部分(由直线分平面引入) (2) 常说的直线在平面内,直线是无限延伸的,若平面是有限的,那么直线怎么能在平面内呢? 2.平面的画法 (1) 通常用平行四边形表示平面； (2) 画水平放置的平面时,通常把它的锐角画成45度； (3) 在空间图形中,被遮住的部分画成虚线或不画,以增强立体感. 3.平面的表示方法 常用希腊字母 、 、 写在代表平面的图形的一个锐角上,作为这个平面的名称,记作平面 、平面 、平面 ；亦可用表示平面的平行四边形的相对顶点的字母作为这个平面的名称,记作平面AC、平面BD. 4.练习:判断下列说法是否正确?并说明理由. (1) 铺得很平的白纸是一个平面吗?你见到过平面没有? (2) 一个平面的面积可以等于100cm2吗? (3) “平面是矩形或平行四边形形状的”.你认为这种说法对吗?你认为平面是什么形状的? 三、小结: 平面的基本概念、画法及表示方法. 四、作业:复习本节课所讲的内容,并预习“平面的基本性质”. 9.1平面的基本性质(一) 【教学目标】1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 【过程】：一、复习引入 1.平面的概念、画法及表示方法. 2.公理与定理的区别. 二、新课 1.在什么样的条件下,一条直线上所有点都在一个平面内? 实例:当一根直尺的边缘上任意两点放在平的桌上时,可以看到直尺的边缘就落在桌面上 . 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 作用:判断直线是否在平面内的依据,同时提供了证明点在平面内的方法. 问题:(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? 符号:点 在直线上,记作 , 点 在平面 内,记作 , 直线 在平面 内,记作 . 2.在平面几何中,两直线相交只有一个交点 空间? 实例:相邻的两墙壁面相交,书的一角接触桌面.得到 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作 . 作用:判断两个平面相交于一条直线及确定交线位置的依据,亦可用来证明点共线.问题:(1)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (2)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (3)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 实例:(1)门:两个合页,一把锁； (2)摄像机的三角支架； (3)自行车的撑脚. 问题:空间四点是否一定在一平面内? 作用:用来确定平面的依据. 指出:(1)有且只有一个 确定一个 (2)不共线的三点. 3.例题: 求证:三角形是平面图形. 书写格式:已知 求证 证明(作图) 思路小结:根据条件确定一个平面,再证线在平面内. 4.练习:教材第7页练习1,2,3,4 三、小结: 三个公理及其作用 四、作业:教材第8页 第 3、4题 新干线（1）选择题 9.1平面的基本性质(二) 【教学目标】 1.理解公理三的三个推论. 2.进一步掌握“点线共面”的证明方法. 【教学过程】：一、新课引入 1.复习:公理一 判断直线的平面内的依据，公理二 两个平面相交的依据 公理三 确定一个平面的依据 2.思考:(1)是否存在一个平面经过空间四点? (2)当空间四点处在何种位置关系时,有且只有一个平面经过它们? 二、新课 1.推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 已知 求证 证明 证明:(见教材第6页,略) 指出:(1)所谓有且只有(确定)一个平面,包括两层含义:①存在；②唯一. (2)证明时只能用前面学过的知识及公理一、二、三,,不能凭直觉及一些未经证明的结论.对平面几何中的定义、定理,只对于同一平面内的图形成立. (3)反证法证明的一般步骤是:假设、规谬、结论.其实质是驳倒结论的反面情况,反射出结论成立. 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用:用来确定平面的依据. 3.例题与练习: 例1.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 、 、 两两相交,交点分别是 、 、 . 求证:直线 、 、 共面. 证明:∵ 、 相交于点 ∴直线 、 确定一个平面,记作 . ∵ ∴ ,∴ ∴直线 、 、 都在平面 内,即它们共面. 指出:证明点、线共面的常用方法是:先由给定的点和线中某些元素确定一个平面,然后再证明其他的点和线在这个平面内. 练习:(1)证明推论二和推论三 (2)求证:两两相交且不共点的四条直线共面.(给出两种图形) 书写格式:已知 求证 证明(作图) 思路小结:根据条件确定一个平面,再证线在平面内. 三、小结: 1.公理三的三个推论 确定平面的依据 2.证明点、线共面的常用方法. “平面的基本性质”小结： 名 称 作 用 公理1 判定直线在平面内的依据 公理2 两个平面相交的依据 公理3以及三个推论 确定一个平面的依据 四、作业:教材第8页 第 6、7题 平面的基本性质（复习） 教学目的：理解并掌握公理3极其有关的符号表示。会证共面、共线问题。 教学重点、难点：理解并掌握公理3。 教学方法：启发式 教学过程：【双基练习】 1） 符号表示： 点A在直线a上，记： 。点A不在直线a上，记： 。 点A在平面 上，记： 。点A不在平面 上，记： 。 直线a在平面 上，记： 。直线a不在平面 上，记： 。 平面 与平面 相交，交线是a，记： 2） 公理1的集合表示：若A a,B a,A ,B ,则AB 。 3） 公理2的集合表示：若A , A ,则 且A a。 4）下列命题属于真命题的是： ① 若点A、B、C l, A ， B ,则可能有点C ； ② 若点A 及 上，点B 及 ，则平面 与平面 相交于直线AB; ③ 若直线a ,直线b ,则不可能有直线b ④ 若直线a ，点A a,则点A ; 二、【基础知识】： 公理3： ； 符号表示：过A、B、C三点的平面又可记作： ； 【课堂练习】： 1）“过空间三点，有且只有一个平面”这句话对吗？ 2）过空间一点、两点、在同一直线上的三点可以有多少个平面？ 推论1： ； 推论2： ； 推论3： ； 说明：①“有且只有一个平面”我们也说“确定一个平面”。 ②在立体几何里，平面几何中的 、 、 等，对于同一个 平面内的图形仍然成立。 【课堂练习】： 1. 什么叫“确定一个平面”？ 2. 填空： ① 的三点确定一个平面； ②两条 或 直线确定一个平面； ③一条直线和 可确定一个平面； 3. 在空间确定平面的位置，我们一共有哪几种方法？ 4. 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？ 三、【例题】： 1. 两两相交且不过同一个点的三条直线在同一个平面内。 已知： 求证： 证明： 说明：①共面： ； 共线： ； ②证点、线共面的方法：先证某些 一个平面，再证其余元素 此 面内。 【课堂练习】： 1. 三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？ 2. 一条直线与两条平行直线都相交，证明：这三条直线在同一个平面内。 【小结】： 名 称 作 用 公理1 判定直线在平面内的依据 公理2 判定两个平面相交的依据 公理3及三个推理 确定一个平面的依据 【课后作业】： 1.三角形、梯形、平行四边形、四边形、菱形中不一定是平面图形的是 ； 2.①不共面的四点可以确定几个平面？ ②三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？ ③共点的三条直线可以确定几个平面？ 3. 一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？ 4. 过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画出三条直线，证明：这三条直线再同一个平面内。 5. 四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？ ☆☆☆☆ 教学反馈（及时矫平面基本性质的应用 妙题集锦 例题1、已知：三个平面两两相交，若有三条交线，则它们或互相平行，或交于一点。 例题2、已知：四边形ABCD中，AB//CD，AB、BC、CD、DA（或它们的延长线）分别与平面а相交于E、F、G、H。 求证：E、F、G、H四点共线。 （一） 截面的画法： 例题3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出下列图形： （1） 过A1、Q1、C1的截面（Q在CC1上）； （2） 过A1、Q、P的截面（Q在DD1上，P在CC1上）。 作业：p8：7、8、9。 新干线作业 正）： 9.2空间两条直线的位置关系及平行直线 【教学目标】1.会判断两条直线的位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题. 【过程】： 一、新课引入 1.复习:平面内两条直线有哪些位置关系? 2.引入:在空间中,两条直线的位置关系又如何呢?[出示课题] 二、新课 1.观察:(1)每人拿两支铅笔放在桌面上,观察各种位置关系,再让一支铅笔脱离桌面观察能否平行,相交?除此有没有其他位置关系? (2)在教室中观察,是否有既不平行又不相交的两直线的实例. 结论:空间存在既不平行又不相交的两条直线. 2.两条直线的位置关系 (1)相交直线———有且只有一个公共点 (2)平行直线———在同一平面内,没有公共点 (3)异面直线———不同在任何一个平面内,没有公共点 3.平行直线 公理四:平行于同一条直线的两直线互相平行.(平行线的传递性) 符号表示:设 、 、 为直线, ∥ 且 ∥ ,则 ∥ . 强化:(1)立方体模型 (2)教材的13页练习1 应用:教材第10页例1. 思路分析:欲证 为梯形,即要证 中 (1)一组对边平行 (2)另一组对边不平行. 证明:(见教材,略) 指出:(1)空间问题 平面问题 (2)对角线 起到桥梁的作用. 引伸:(1) 和 的位置关系怎样?交点必在哪条直线上? (2)若 、 分别是 、 的中点,那么四边形 是什么图形? (3)在(2)的条件下,又有对角线 ,则四边形 是什么图形? 4.等角定理及推论 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. (证明见教材第10页) 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性, 因而成为异面直线所成角的基础. 5.练习:教材第13页第2、3、4 三、小结 1.两条直线的位置关系:平行、相交、异面. 2.平行公理 3.等角定理及其推论. 4.平面几何中的定理等推广到立体几何中需要经过证明. 四、作业:教材第15页 第 3、4题 |
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