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| 中学的数学建模活动—从一节数学建模课谈起 | |||||||||||||||||||
| 作者：仇金家 文章来源：人大附中 点击数： 更新时间：2003-7-23 | |||||||||||||||||||
| 随着人类的进步、科技的发展和社会的日趋数字化，“数学已无处不在”，“数学就等于机会”的时代已经到来。数学应用越来越广泛，越来越受到重视，数学模型（Mathematical Model）和数学建模（Mathematical Modeling）这两个词使用频率越来越高，“大学生数学建模竞赛”活动近几年已在世界范围内成功地开展，并在一定程度上推动了大学的数学教育改革。目前，国际上已经把“开展数学建模活动”的重心从大学转移到中学，并已成为一个趋势，因为这项活动能够顺应时代要求，推动教育改革，我国的教育者也在这个领域内不断地探索并取得了可喜的成绩。在中央关于“科教兴国”的基本国策和实施素质教育的方针指引下，数学建模在数学教学中的位置被提到了新的高度。在严格控制竞赛的今天，北京市教委已于1997年3月正式批准举办“北京市高中数学知识应用竞赛”。近年来高考已日益重视联系实际，强调应用。不但数学专家们认为“应还数学以本来面目”，一些中学校长、教学一线的数学教师，也都认识到了数学应用在数学从应试教育向素质教育转化过程中的重要地位，通过在教学中对数学建模思想和数学应用问题的渗透，培养学生应用数学的意识和运用数学思想、方法解决实际问题的能力，这种影响可能使学生终生受益。 我校已于1997年夏天派教师参加北京数学会举办的“中学教师培训班”，并在学生中开展了数学建模活动小组，请一些专家来校授课座谈，组织学生参加北京市第一届高中数学知识应用竞赛的初赛和复赛（复赛在我校举行），并取得了优异成绩：一等奖4名，二等奖3名，三等奖14名；论文获奖4名，我校还获得先进组织工作奖。并承担全国九五教育科学国家教育部重点课题：“高师、中小学数学建模理论、实践与跨世纪数学教育改革”的子课题：“中学数学建模的理论与教科研实践”，由校长负责，制定了3年的详细计划，部分已经实施。现在数学建模已被定为我校高一数学实验班的必修课，每周一节。在上课过程中，学生表现出浓厚的兴趣和积极的热情。 由于数学建模课是一门新兴的课程，所以怎样才能达到预期的目的，收到良好的效果，还需进行不断的探索和研究，下面就以笔者的一节课为例谈谈我对数学建模课的一点看法。 一、设想 本课教学目的是增强学生应用数学的意识，提高对数学的兴趣，培养运用数学思想和方法解决实际问题的能力。通过实例使学生掌握建立数学模型的基本方法和过程，熟悉对自己所建模型的评价和改进的方法。为了达到以上目的，就要求选材一定是发生在学生身边的、较常见的事情，有一定难度但经过努力又能够得出结论，学生比较感兴趣的、开放性的问题。所以我选择了“研究同种商品不同型号的价格规律”问题，并且亲自到几家商场调查了一些不同包装的同种商品的价格及销售情况。如牙膏、洗发液等。根据调查的结果，完成了整个建模过程，验证了研究此问题的可行性。 二、实施 1．准备 为了让学生能真正地参与到这次活动当中来，提高他们的兴趣和动手能力，也使被研究问题更实际、更真实可信，我并没有直接在上课时用调查来的数据，而是提前拟好调查提纲，发给学生人手一份。让学生按照调查提纲去调查，根据自己调查的数据建立数学模型，并把自己的调查数据、建模过程及结论制成投影片，在课前收上来，了解学生所做的情况，但不作修改，原样返还学生。 2．上课 根据一个实际问题所建立的数学模型，一般地我们不能说哪一个是最好的，只能说哪一个更好一些。针对学生接触数学建模的时间不长，对建立数学模型的过程、步骤及方法不是很熟悉的情况，我把本课的教学重点放在让学生了解并掌握建立数学模型的一般过程及对计算结果进行分析的方法上。教学过程如下： （1）复习。 复习建数学模型的一般过程，用投影片打出这个过程中的几个重要步骤： 一、充分理解题意，确定研究对象； 二、整理条件，做适当假设； 三、建立数学模型； 四、模型的求解； 五、模型的验证、改进； 六、模型的评价、应用。 （2）展示部分学生的模型。 回到具体问题：同种商品不同型号的价格规律，我们应该怎样建立模型呢？学生的思维非常丰富，经过认真调查得出的模型也是多种多样的。但大多数同学在建模过程中，或多或少有不对或不够严谨之处，所以我请几名有代表性的同学通过投影片展示并说明自己建模过程及最后的结论。由于提前看过学生所做的模型，所以我在选择学生发言时考虑到：学生建模过程存在的问题和优点各不相同并具有代表性。也使学生所得出的模型尽量丰富，渗透同一实际问题可以通过建立不同数学模型加以解决的思想。以此为标准选择了四名同学，他们的做法分别是： ①通过描点，比较形象地表示出价格与重量之间的关系； ②假设不同型号的同种商品包装费用相同，得出一次函数的模型； ③各组价格与重量所决定的点不在同一直线上，所以设二次函数解决； ④利用拟合的方法，通过最小二乘法加以解决。 在这四名同学谈自己的建模过程时，老师引导其他同学加以评论，指出其模型存在的问题及优点。 （3）讨论如何建立数学模型。 许多同学在建立数学模型的过程中都存在着一定的问题，那么建立一个具体的数学模型究竟应该怎样做呢？下面老师和同学们一起，按照建模过程的主要步骤，规范地建立一个数学模型，同时对每一步进行分析，说明应注意的问题和容易犯的错误，使学生形象直观地了解，怎样用数学的思想和方法解决一个实际问题。 ①数据。充分理解题意，确定研究对象，针对本题来说就是确定被调查对象并调查数据。要确定调查对象，就必须充分理解什么是“同种商品”。举例说明：同学都知道洗发液和牙膏不是同种商品，但针对本题而言，黑妹牙膏和中华牙膏是不是同种商品呢？佳洁士牙膏中的薄荷型、清新香型是不是呢？最后得出正确结论：“同种商品”是指“同种类型”，而不是指“同一品牌”的商品。并以此为标准选择一组具体数据： 表1 商品名称 重量（克） 价格（元） 佳洁士牙膏 0 3.701 120 9.30 165 12.60 海飞丝洗发液 200 18.50 400 32.00 750 60.50 下面以佳洁士牙膏为例，建立数学模型。 ②假设。影响价格的因素很多，如果都考虑，那么影响模型的可解性；如果考虑的因素太少又会影响到模型结果的可靠性，所以引导学生以“在可解性的前提下，力争有较满意的可靠性”为原则作出以下假设：假设价格仅由对其影响较大的生产成本、包装成本所决定，而生产成本只与牙膏本身的重量成正比，包装只与其表面积成正比。 ③建模。确定重量与价格的关系。设每支牙膏的重量为x克，价格为y元，每克牙膏的成本a元，则生产成本为ax元。但计算包装成本是个难点，因为牙膏的密度一定，所以它的重量和体积成正比，又因为牙膏包装的外型都是相似的，相似比为 ，那么体积比为 ，表面积比为 ，即 ，所以包装成本为 元，这样，可以建立牙膏的价格模型为： （1） 这时向学生说明这只是模型之一，只要有根据还可以建立其它形式的模型。 ④计算。模型（1）中有两个待定系数：a、k，对于佳洁士牙膏，我们可以通过表1中相关栏目中的前两组数据计算出a、k的值； 则佳洁士牙膏的价格数学模型为： （2） ⑤验证。我们所建的模型如何，还要经过检验。可以把第三组数据代入模型，能够估算165克佳洁士的预售价格为14.1527元，而实际售价为12.60元。说明我们所建的模型计算出的结果与实际价格还有一定差别，原因是什么呢？这时要引导学生考虑那些影响价格但我们在建模时又没有考虑的因素，如加工费、运费、地区差价、消费心理、商场调价等等。这些因素如果我们能够计算，就把它考虑进来，对模型加以改进。如大小包装的牙膏帽加工费差别不大，我们就可以在模型后加一个常数，使模型成为：。但有些因素，如消费心理等，我们无法去计算，那么就在模型评价中加以说明。 ⑥评价。对模型的评价要说明模型的局限性，我们忽略的因素可能对模型的结果有何影响等。模型的应用主要让学生举出此模型适用的商品，如：咖啡、洗发液、饮料、开心果、洗衣粉等，并从中得出结论：此模型对那些包装外型相似的商品都适用。 （4）作业。 通过本节课的学习，同学们对数学建模一定有了新认识。为加深学生的印象，要求学生回去改进完善自己的模型，并写出一篇总结性论文。 三、回顾 从这节课的整体情况来看，课堂教学的效果基本实现，达到了预期的目的，收到了较好的效果，但也存在着一定的问题，现总结如下： （1）由于时间限制，学生在课上对模型的讨论不够充分，应给学生更多的机会对模型进行评价，尤其是被展示的几个模型。这样，学生对建模的过程及评价模型的标准印象会更加深刻。 （2）在讲模型应用时，应举出正、反两方面的实例，使学生明确建立模型的适用范围。最好能展示具体的实物，让学生通过观察总结此模型的使用范围，这样就更生动、更形象。 学生通过这节课提高了用数学思想分析问题和解决实际问题的能力。但这节课能产生的积极作用及留给我们的思考却远远不止这些。在布置学生调查时，我并没有让学生写心得、体会，而一名同学在她的调查报告中却写了这样一段话： “这是我第一次进行社会调查（如果这可以称为“社会调查”的话），这也是我第一次参加数学建模活动，我觉得这次活动真的很有意思。也许我的这份报告并不能算是真正意义上的建模报告，因为我对建模还并不很清楚是怎么一回事，但是我很高兴，因为我已经独立完成了一次调查，还写出了调查报告。 建模以前对我来说一直是很‘高深’的东西，当然，现在也是如此。有时候想一想生活中居然藏着那么多有趣的数学问题，倒也觉得很有意思。当我听到老师说要进行这次建模活动时，一开始觉得很难很难，可后来在脑中一想，国庆期间的所有作业里，就数这项最有意思。当我到各个商店动员调查的时候，我也真觉得自己是在干一件大事，那些售货员也以大人的眼光看我，让我很高兴。回到家里，我又坐在计算机前将我的第一篇调查报告编辑出来，再加入一些图形和美术字。因为这是我的作品，所以我对它特别的用心。 总之，我一直都快乐地投入到这项工作里，虽然我曾认为规定时间有点儿紧，可我却没有想到竟然提前完成了任务（而且自认为很满意）。其实，我的报告很简单，因为我不太会分析我的模型有什么其他作用，不清楚我还应该调查些什么，所以还请老师提出一些意见和建议。谢谢。” 从字里行间可以看出这是她发自内心的感受，朴实真挚的语言表达了一名中学生的心声。谈到我国的中学教育，总有人提到“压力大、负担重”，学生、家长、各界人士，也包括教育界的一些人都在呼唤“减轻学生负担，还学生自由”；另一方面，还有一些人在说，现在的中学生兴奋点太多，有些学生一提到打游戏、看卡通、踢足球便兴趣浓厚，一提到数理化便觉枯燥无味；谈论明星他们眉飞色舞，对背外语单词却觉得无奈。虽然这并不能代表中学教育的现状，但却值得我们去思考。让学生对学习感兴趣，自觉主动地去学习，并能从中获得知识，提高能力，这是我们共同的愿望，也是教育改革的一个目标。上面那位同学的话能给我们一些启示。不光这位同学，还有许多同学也在这次活动中表现出很大的兴趣，他们比较喜欢解决这些实际的问题。又如，我在讲解立体几何中球冠面积时提到“北京电视台的电视塔能否覆盖整个北京市”和“卫星发射电波覆盖中国、亚洲、地球”等问题，有个平时对数学并不是很感兴趣的同学，却对此问题很热衷，他不但自己认真做，而且回家耐心请教父母。他父亲又惊又喜，找人帮他借了一些资料。从被家长逼着学到主动学，这种转变是我们盼望的，我们更盼望这种转变有一天能具有普遍性。让数学无穷的魅力激发学生的兴趣，我们要让学生了解它、学习它并能应用它。当应用时感到所学知识不足，学生就会对数学有需求、有兴趣，当然也就会更好地学习数学了。 在中学数学中引入实际问题、渗透应用思想，对学生成长和以后的影响毋庸置疑是非常有利的，这种趋势也是不可阻挡的，许多教育界人士正在做着这项被称为“功德无量”的工作，有些地区如上海等已经领先一步，并已取得一定成绩。尽管这样，应用数学在中学数学中全面开展还有很长一段路要走，目前还存在着一些问题和不足。首先是宣传不够，了解数学应用尤其是数学建模的人太少，包括学生和老师。我校要开展数学素质班，有些同学感到很生疏，有些同学不敢报名，以为很难。据说“北京市高中数学知识应用竞赛”之所以没叫“北京市高中数学建模竞赛”与此也有关系，所以要使这项活动尽早全面开展，就必须加大宣传力度，让老师学生及社会上的其他人了解它，只有了解它，才能喜欢它，才能参与进来；其次是怎样在中学很好地开展这项活动，我们还缺乏经验。万事开头难，现在既缺少理论作指导，可供参考的资料也较少，一切都在尝试，都在探索。上课所涉及的问题应该是来源于现实，来源于生活，是真正的实际应用问题。同时又要紧紧围绕课本，应用到学生所学的知识，不生硬、不牵强，更不能为了解决应用问题而补充新知识，加重学生负担。最终我们要把应用问题融入到数学课堂中。讲清理论知识是如何从实践中得来的，在实践中是如何应用的，给学生一个完整的知识体系，这就是我们中学老师应该努力去做的。另外，这方面的师资也非常缺，要讲好应用问题，不仅要了解数学知识的背景，而且也要了解在应用中所涉及到的其他领域中的知识，这就对老师的素质有了新的要求。要想使这项活动在中学全面开展，并收到很好成效，需要我们更多的人为之做出不懈的努力。 今天，正如姜伯驹院士所说：“数学已从幕后走到台前，直接为社会创造价值”。随着计算机的不断发展，数学已渗透到了每一领域，并发挥着越来越大的作用，作为跨世纪的中学教师，我们要把学生培养成为21世纪的人才，比教给学生数学知识更重要的是培养他们的数学思想、应用意识和能力，只要我们能够认识到应用数学的重要意义，并共同为之努力，这项工作就一定能顺利推向全国，促进数学教育改革，为培养21世纪人才做出新的贡献。 |
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