本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

　　第Ｉ卷(选择题共65分)

一、选择题(本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

　　选项中,只有一项是符合题目要求的)

　1.设全集Ｉ=｛0,1,2,3,4｝,集合A=｛0,1,2,3｝,集合B=｛2,3,4｝,则

　　A.｛0｝　　　B.｛0,1｝　　　C.｛0,1,4｝　　　D.｛0,1,2,3,4｝

　2.如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

　　A.(0,+∞)　　B.(0,2)　　　　C.(1,+∞)　　　　D.(0,1)

　3.点(0,5)到直线y=2x的距离是

　　A.5/2　　　　B.　　　　　C.3/2　　　　　　D./2

　4.设θ是第二象限的角,则必有

　　A.tg(θ/2)＞ctg(θ/2)　　　　　　　 B.tg(θ/2)＜ctg(θ/2)

　　C.sin(θ/2)＞cos(θ/2)　　　　　　　D.sin(θ/2)＜cos(θ/2)

　5.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖

　　成

　　A.511个　　　B.512个　　　　C.1023个　　　　D.1024个

　6.在下列函数中，以π/2为周期的函数是

　　A.y=sin2x+cos4x　　　B.y=sin2xcos4x　　　C.y=sin2x+cos2x　　　D.y=sin2xcos2x

　7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

　　A.32　　　B.28　　　　C.24　　　　D.20

　8.设F₁和F₂为双曲线x²/4-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°,则△F₁PF₂的面积是

　　A.1　　　　　B./2　　　　C.2　　　　　　D.

　9.如果复数Z满足│Z+i│+│z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是

　　A.1　　　　　B.　　　　　C.2　　　　　　D.

　10.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同

　　的选法共有

　　A.1260种　　　B.2025种　　　C.2520种　　　D.5040种

　11.对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

　　

　12.设函数f(x)=1-(-1≤x≤0)，则函数y=f^-1(x)的图象是

　　

　13.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是

　　A.16π/9　　　　　B.8π/3　　　　　C.4π　　　　　　D.64π/9

　14.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称，那么a=

　　A.　　　　　　　B.-　　　　　　C.1　　　　　　　D.-1

　15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果

　　f(x)=lg(10^x+1),x∈(-∞,+∞),那么

　　


　　第Ⅱ卷(非选择题共85分)

二、填空题(本大题共5小题,共6个空格:每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)

　16.在(3-x)⁷的展开式中,x⁵的系数是____(用数作答).

　17.抛物线y²=8-4x的准线方程是____，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____.

　18.已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是____.

　19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离

　　为1,则该圆锥的体积为____.

　20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a₁,a₂,…,a_n,共n个数据.我

　　们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.

　　依此规定,从a₁,a₂,…,a_n推出的a=____.


三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

　21.(本小题满分11分)

　　求函数　　的最小值。



　22.(本小题满分12分)

　　以知函数f(x)=log_ax(a＞0且a≠1,x∈R⁺),若x₁,x₂∈R⁺,判断 [f(x₁)+f(x₂)]/2 与 f[(x₁+x₂)/2]

　　的大小，并加以证明．



　23.(本小题满分12分)

　　如图,已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,D是AC中点.

　　　　　　

　　(1)证明AB₁∥平面DBC₁；

　　(2)假设AB₁⊥BC₁,BC=2,求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长.



　24.(本小题满分12分)

　　已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x²+y²=1,动点M到圆C的切线长与│MQ│的比等于常数λ(λ＞0).

　　求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.

　　　　　


　25.(本小题满分14分)

　　设数列｛a_n｝的前n项和为S_n,若对于所有的自然数n,都有 证明｛a_n｝是等差数列.




　参考答案：

　一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

　　1.C　　2.D　　3.B　　4.A　　5.B

　　6.D　　7.B　　8.A　　9.A　　10.C

　　11.C　　12.B　　13.D　　14.D　　15.C

　二、填空题(本题考查基本知识和基本运算. 每空格4分,共24分)

　　16.-189　　　17.x=3,(x-2)²+y²=1　　　18.-3/4

　　19.2π/3　　　20.(a₁+a₂+…+a_n)/n

　三、解答题

　　21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力,满分11分.

　　解:因为
　　　　

　　所以
　　　　

　　当sin(2x+π/4)=-1时,y取最小值-.


　22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.

　　解:　f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_a(x₁x₂),　∵x₁,x₂∈R⁺,

　　　　

　　　　

　　　　(当且仅当x₁=x₂时取“=”号).

　23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.

　　(1)证明:　∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,

　　　∴四边形B₁BCC₁是矩形.连结B₁C,交BC₁于E,则B₁E=EC.连结DE.

　　　在△AB₁C中,∵AD=DC,　∴DE∥AB₁,

　　　

　　　∴AB1∥平面DBC1.

　　　　　　　　　　　　　　


　　(2)解:作AF⊥BC,垂足为F.因为面ABC⊥面B₁BCC₁,所以AF⊥平面B₁BCC₁.连结B₁F,则B₁F是AB₁在平面

　　　　B₁BCC₁内的射影.

　　　∵BC₁⊥AB₁,　∴BC₁⊥B₁F.

　　　∵四边形B₁BCC₁是矩形,　∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°；

　　　又∠FB₁B=∠C₁BC,　∴△B₁BF∽△BCC₁.

　　　∴B₁B/BC=BF/C₁C=BF/B₁B

　　　又F为正三角形ABC的BC边中点,因而B₁B²=BF·BC=1×2=2,

　　　于是B₁F²=B₁B²+BF²=3,　∴B₁F=.

　24.本小题考查曲线与方程的关系,轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　解:如图,设MN切圆于N,则动点M组成的集合是

　　　P=｛M‖MN│=λ│MQ│｝,式中常数λ＞0.

　　　因为圆的半径│ON│=1,所以│MN│²=│MO│²-│ON│²=│MO│²-1.

　　　设点M的坐标为(x,y),则


　　　整理得　(λ²-1)(x²+y²-4λ²x+(1+4λ²)=0.

　　　经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.

　　　当λ=1时,方程化为x=5/4,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点(5/4,0),

　　　当λ≠1时,方程化为 它表示圆,该圆圆心的

　　　

　25.本小题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力.满分14分.

　　证法一:令d=a₂-a₁.

　　下面用数学归纳法证明 a_n=a₁+(n-1)d (n∈N).

　　(1)当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁.

　　　当n=2时,a₁+(2-1)d=a₁+(a₂-a₁)=a₂,等式成立.

　　(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,a_k=a₁+(k-1)d.由题设,有

　　　S_k=k(a₁+a_k)/2, S_k+1=(k+1)(a₁+a_k+1)/2, 又S_k+1=S_k+a_k+1

　　　∴(k+1)(a₁+a_k+1)/2＝k(a₁+a_k)/2+a_k+1

　　　把a_k=a₁+(k-1)d代入上式,得

　　　(k+1)(a₁+a_k+1)=2ka₁+k(k-1)d+2a_k+1.

　　　整理得(k-1)a_k+1=(k-1)a₁+k(k-1)d.

　　　∵k≥2,　∴a_k+1=a₁+kd.即当n=k+1时等式成立.

　　　由(1)和(2),等式对所有的自然数n成立,从而｛a_n｝是等差数列.

　　证法二:当n≥2时,由题设,

　　
　　整理得　a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁

　　从而｛a_n｝是等差数列.