浙江绍兴柯桥中学   余继光  薜莲荣

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    自1995年数学应用题进入高考以来，每年不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我们的看法，供参考。

一. 突破口之一——学会数学建模分析的步骤

    数学建模分析的步骤：

  1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。

    “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；

    “局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；

    “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；

    “领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。

  2. 建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。

  3. 求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。

  4. 检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。

二. 突破口之二——掌握数学建模分析的具体方法

  1. 关系分析法。即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。

  例1. （水塔供水问题）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间 （单位：小时，定义早上6时 =0）的函数关系式为 ，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水同时打开进水管。

    （1）设进水量选用第 级，写出在 时刻水的存有量；

    （2）问进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出。

    读懂题目：题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量。其数量关系为：存有量=进水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量。第一问的关键点是求“进水量选用第 级”。第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量 ”。

    建立数学模型： 存有量=进水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10 在选用第 级的进水量时， 时刻水的存有量为 ，要使水搭中水不空不溢，则 ，问题转化为确定 ，使 ，在（ ）上恒成立。

    求解数学模型：面对上述不等式，如何求解？是否会转化为“ 对一切 恒成立，”是否会作一个代换“令 ”，将其转化为“ 对一切 恒成立”，由于 在 上的最小值为 在 上的最大值为 ，从而确定 。

  2. 列表分析法。即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。

  例2. （旅游业的投入产出问题）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。（1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出它们的表达式；

    （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

    读懂题目：在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ”和“旅游业收入每年会比上年增加 ”，其投入资金数列和收入（产出）数列均为等比数列，注意题目“设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元”中的“ 年内”说明“ ”、“ ”表示等比数列的前 项和。

    建立数学模型：（1）第 年的投入与收入资金数列列表如下

    第几年   投入资金（万元）        旅游收入（万元）

    （2）略

  3. 图像分析法。即通过对图像中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法。

  例3. （西红柿种植与销售问题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示，（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ；

    写出图2表示的种植成本与时间的函数关系 ；

    （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/ ，时间单位：天）

    读懂题目：（1）观察图像求出市场售价函数 和种植成本函数 ；（2）由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数

    解题思路：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为

    由图2可得种植成本与时间的函数关系为

    （2）解略。

三. 突破口之三——注意语言表达的完整性

    数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。