首页 | 会员专区 | 公共用户区 | 数学建模 | 江中数学 | 留言反馈 | 
您现在的位置: 21世纪数学 >> 公共用户区 >> 高考竞赛 >> 高考辅导 >> 正文 用户登录 新用户注册
第七讲 直线与平面的平行与垂直         ★★★ 【字体:
第七讲 直线与平面的平行与垂直
作者:www.21maths.com    文章来源:www.21maths.com    点击数:    更新时间:2003-10-5
一、知识要点

    直线与平面是立体几何的核心内容,主要包括:三条公理、三个推论、三线平行公理(公理4)、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系(直线与直线、直线与平面、平面与平面)。其中平行问题垂直问题是两类重要的证明问题。

  
    
二、例题解析

例1、a , b是两条不同直线,wpe2AC.jpg (840 bytes)wpe2B3.jpg (822 bytes)是两个不同的平面,
     则下面四个命题:
1)若ab, awpe2AC.jpg (840 bytes), bwpe2BF.jpg (782 bytes)wpe2AC.jpg (840 bytes), bwpe2AC.jpg (840 bytes);
2)若awpe2AC.jpg (840 bytes) ,wpe2AC.jpg (840 bytes)wpe2B3.jpg (822 bytes), awpe2B3.jpg (822 bytes) ;
3)若awpe2B3.jpg (822 bytes), wpe2AC.jpg (840 bytes)wpe2B3.jpg (822 bytes), awpe2AC.jpg (840 bytes) awpe2C2.jpg (742 bytes)wpe2AC.jpg (840 bytes);
4)若ab,awpe2AC.jpg (840 bytes),bwpe2B3.jpg (822 bytes), wpe2AC.jpg (840 bytes)wpe2B3.jpg (822 bytes)
     其中正确的命题是        

 
解:将各命题的符号语言翻译成文字语言,同时转化为图形语言,根据线线、线面、面面平行和垂直的判定和性质 ,可知命题(1)(3)(4)为真。
    对于命题(2),如图,在正方体ABCD--wpe2C5.jpg (1277 bytes)中,
    取平面ABCD=wpe2AC.jpg (840 bytes),平面ABwpe2D7.jpg (1010 bytes)=wpe2B3.jpg (822 bytes)wpe2CA.jpg (1028 bytes)=a
    命题显然非真。
   
wpe2DD.jpg (6478 bytes)
    
  
例2、已知:直三棱柱wpe2DF.jpg (1002 bytes) --ABCwpe2F1.jpg (887 bytes)=wpe2F7.jpg (884 bytes)wpe2F8.jpg (871 bytes)wpe2F9.jpg (863 bytes)
         MN分别为wpe2FA.jpg (880 bytes) AB的中点。
    (
1)求证:wpe2FB.jpg (943 bytes)⊥平面wpe2FC.jpg (1099 bytes)
    (
2)求证:wpe2F9.jpg (863 bytes)AM
    (
3)求证:平面wpe2FE.jpg (992 bytes)∥平面wpe2FF.jpg (988 bytes)
    (
4)求wpe2F9.jpg (863 bytes)wpe300.jpg (875 bytes)所成的角。
    
wpe302.jpg (10284 bytes)
证明:(1)连结wpe2FD.jpg (1133 bytes)Mwpe303.jpg (1105 bytes)的中点,
                                        wpe304.jpg (1096 bytes)=wpe306.jpg (1124 bytes) wpe307.jpg (1114 bytes)wpe308.jpg (1409 bytes)
                    
棱柱wpe30A.jpg (1086 bytes)--ABC为直三棱柱,
                  平面wpe30A.jpg (1086 bytes)⊥平面wpe2FC.jpg (1099 bytes)      wpe307.jpg (1114 bytes)wpe30B.jpg (1872 bytes)
     
2)连结AM
           wpe30C.jpg (7179 bytes)(三垂线定理逆定理)
    
3)连结wpe30E.jpg (1432 bytes)
      NAB的中点,且棱柱wpe30F.jpg (1489 bytes)是直棱柱
     ∴wpe311.jpg (1008 bytes)AMCNwpe312.jpg (987 bytes)
      又
wpe311.jpg (1008 bytes)wpe313.jpg (783 bytes)平面wpe314.jpg (1043 bytes) AM wpe315.jpg (756 bytes)平面wpe314.jpg (1043 bytes)
                   ∴wpe316.jpg (932 bytes)∥平面wpe314.jpg (1043 bytes)

           同理CN∥平面 wpe314.jpg (1043 bytes)
           wpe317.jpg (932 bytes)CN是平面wpe318.jpg (1028 bytes)内的两条相交直线,
        平面
wpe314.jpg (1043 bytes)∥平面wpe318.jpg (1028 bytes)

   
(4)
   wpe319.jpg (6092 bytes)
   wpe31B.jpg (1294 bytes)∥AM,wpe31C.jpg (1266 bytes)
   wpe31D.jpg (5012 bytes)
  
 
例3、如图,四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形,BAADCDADCD=2ABPA⊥底面ABCDEPC中点。
    (
1)求证:平面PDC⊥平面PAD
    (
2)求证:EB∥平面PAD
    (
3)若PA=AD,求证BE⊥平面PDC
wpe31E.jpg (7069 bytes)
    
wpe320.jpg (2058 bytes)
   ∴PACD
    CDADwpe307.jpg (1114 bytes)wpe321.jpg (756 bytes)CD⊥平面PAD
        CDwpe315.jpg (756 bytes)平面PAD wpe322.jpg (1030 bytes)平面PCD⊥平面PAD
 
  2)取PD中点F,连结EF,∵EPC中点,
       EFwpe326.jpg (1077 bytes)CD,又ABwpe326.jpg (1077 bytes)CD,∴EFwpe327.jpg (856 bytes)AB

连结AF,则四边形ABEF是平行四边形。
    ∴BEAF
    ∵AFwpe315.jpg (756 bytes)平面PADBEwpe313.jpg (783 bytes)平面PAD
    ∴BE ∥平面PAD

   
  3)∵PA=AD wpe328.jpg (785 bytes)PAD是直角三角形,FPD中点,AFPD BEAF, ∴BEPD
     又∵CD⊥平面PAD
       CDAFwpe321.jpg (756 bytes)CDBE
         
BE与平面PDC内的两条相交直线PDCD都垂直
     BE⊥平面PDC
 
     
三、复习思考
1、已知平面wpe32A.jpg (741 bytes)和平面wpe32B.jpg (822 bytes)不重合,直线m和直线n不重合,
   则wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)的一个充分条件是(
  
      Amwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes)nwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes),且mn
      B
mwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes)nwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)mwpe32B.jpg (822 bytes)nwpe32A.jpg (741 bytes)
      C
mwpe32A.jpg (741 bytes)nwpe32B.jpg (822 bytes),且mn
      D
mwpe32A.jpg (741 bytes)nwpe32B.jpg (822 bytes),且mn
  
2、已知直线l⊥平面wpe32A.jpg (741 bytes),直线mwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes),有下列四个命题:
  (
1 wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)wpe321.jpg (756 bytes) l m
  (
2 wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)wpe321.jpg (756 bytes) l m
  (
3 l mwpe321.jpg (756 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes) wpe32B.jpg (822 bytes)
  (
4 l mwpe321.jpg (756 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes) wpe32B.jpg (822 bytes)
   其中正确的命题是(

      A、(1)(2        B、(3)(4
      C、(2)(4             D、(1)(3
 
 
3、已知lm是直线,wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)wpe331.jpg (803 bytes) 是平面,给出下列命题:
  (
1)若lm都与wpe32A.jpg (741 bytes)成等角,则 l//m
  (
2)若wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes),且wpe32B.jpg (822 bytes)wpe331.jpg (803 bytes),则wpe32A.jpg (741 bytes)//wpe331.jpg (803 bytes)
  (
3)若lm,且lwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes)mwpe32F.jpg (742 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes),则wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)
  (
4)若lwpe32A.jpg (741 bytes)wpe32A.jpg (741 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes),则l//wpe32B.jpg (822 bytes)
  (
5)若wpe332.jpg (1049 bytes)=l,且lwpe331.jpg (803 bytes),则wpe32A.jpg (741 bytes)wpe331.jpg (803 bytes)wpe32B.jpg (822 bytes)wpe331.jpg (803 bytes)
   其中正确命题的序号是
        
(注:把你认为正确的命题的序号都填上)。
  
  
4、设Pwpe335.jpg (1174 bytes)所在平面外的一点,P在这个平面内的射影是O点,使Owpe335.jpg (1174 bytes)的外心的一个条件是          
    
   
5、如图,在空间四边形ABCD中,平面wpe32A.jpg (741 bytes)分别截ABACCDDBMNPQ,且ADwpe32A.jpg (741 bytes)BCwpe32A.jpg (741 bytes)
1)求证:四边形MNPQ是一个平行四边形;
2)若AB=BDAC=CDHAD的中点,
     求证:平面wpe32A.jpg (741 bytes)⊥平面
BCH
wpe336.jpg (5471 bytes)
  • 上一篇文章: 第五讲 三角函数式的化简与求值

  • 下一篇文章: 第八讲 空间中的距离和角
  • 发表评论】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口
          最新热点       最新推荐       相关文章
  • 2005年高考数学山西卷评析

  • 高中数学总复习中要把提高能…

  • 从课程标准看高考数学复习 掌…

  • 对新课程理念下数学教学的思…

  • 2005年高考数学重庆卷评析

  • 2005年高考数学浙江卷评析

  • 2004年浙江省高考数学试题第…

  • 高考“解答题中的综合性难题…

  • 2004年理综备考二轮复习建议

  • 教育部长周济谈高考和教育趋…

  • 21世纪数学网版权与免责声明:
    ① 凡本网注明“稿件来源:21世纪数学网(包括21maths.com,www.21maths.com等)”的所有文字、图片和音视频稿件,版权均属21世纪数学 网所有,任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他方式复制发表。已经本网协议授权的媒体、网站,在下载使 用时必须注明“稿件来源:21世纪数学网”,违者本网将依法追究责任。
    ② 本网未注明“稿件来源:21世纪数学网(包括21maths.com,www.21maths.com等)”的文/图等稿件均为转载稿,本网转载出于传递更多信 息之目的,并不意味着赞同其观点或证实其内容的真实性。如其他媒体、网站或个人从本网下载使用,必须保留本网注明的“稿件来源”,并 自负版权等法律责任。如擅自篡改为“稿件来源:21世纪数学网”,本网将依法追究责任。如对稿件内容有疑议,请及时与我们联系。
    ③ 如本网转载稿涉及版权等问题,请作者及时联系本站。
    Edream Studio